Образование получил в Горном кадетском корпусе в Санкт-Петербурге. За успехи в учёбе был награждён большой серебряной медалью, получил звание шихтмейстера. После завершения учёбы в 1829 году Александр Андреевич был направлен на Урал.
Свою службу молодой горный инженер Иосса начал на Кушвинском заводе Гороблагодатского горного округа: в 1834 году стал смотрителем, затем помощником управителя, а с 1835 года - управителем. Александр Андреевич работал на заводах Златоустовского горного округа - в 1836 году на Саткинском, в период с 1837 по 1847 гг. в Артинском.
В 1848 году Александр Андреевич был командирован в Англию, Бельгию, Германию для осмотра и изучения горных заводов. По возвращении в 1849 году А.А.Иосса был назначен управителем Воткинского завода, где впервые на Урале организовал строительство газо-пудлинговых и газосварочных печей.
С июня 1851 по март 1855 гг. Александр Андреевич работал горным начальником Златоустовских заводов. Продолжая традиции златоустовского ученого-металлурга П.П.Аносова, А.А.Иосса много сделал для совершенствования пудлингового, сварочного и доменного производств. Им были проведены теоретические исследования процесса пудлингования, Александр Андреевич применил газ в сварочных и пудлинговых печах и каменный уголь - в доменном производстве.
С 1855 года Александр Андреевич являлся горным начальником Камско-Воткинского горного округа. А.А.Иосса усовершенствовал технологию судостроения, создал кадры квалифицированных техников и рабочих, для подготовки которых было открыто Воткинское горное училище.
В 1858 году А.А.Иосса руководил постройкой уникального сооружения - металлического остова для шпиля колокольни собора Петропавловской крепости в Петербурге (по проекту Д. И. Журавского). Специально для этого сооружения была разработана технология выделки крупносортного железа, а само строительство завершено в рекордно короткий срок - три с небольшим месяца. За эту работу Александр Андреевич получил бриллиантовый перстень с вензелем императора Александра II.
В период с 1861 по 1863 гг. одним из первых в России А.А.Иосса проводил опыты по бессемерованию (один из видов передела жидкого чугуна в сталь продувкой воздухом без затрат топлива).
В 1863 году А.А.Иосса был назначен главным начальником горных заводов хребта Уральского, проработав в этой должности до 1870 года.
Это были годы, последовавшие за отменой крепостного права, достаточно сложные для казённых уральских заводов. А.А.Иосса продолжал заниматься и научной работой, в 1870 году Александр Андреевич поддержал создание в Екатеринбурге Уральского общества любителей естествознания. В 1873 году он был избран его действительным, а затем в 1887 году - почетным членом.
В 1870 году А.А.Иосса стал членом Горного совета и Горного учёного комитета в Петербурге, позднее возглавил эти учреждения. Будучи членом Горного совета, занимался вопросом о выгодности способов обработки каменноугольных копей Царства Польского, исследовал в Волыни месторождения полезных ископаемых. Под его руководством на Всемирной выставке в Филадельфии в 1876 году был оформлен горнозаводской отдел в российской экспозиции.
В отставку А.А.Иосса вышел в 1891 году в чине действительного тайного советника (соответствовал армейскому званию полного генерала).
Александр Андреевич являлся почетным членом Императорских Русского технического и минералогического обществ, член Общества горных инженеров.
Умер А.А.Иосса в Санкт-Петербурге 2 января 1894 года.
Пресс-служба Роснедр